握住科學鑰匙 打開科學之門

首頁 > 正文

認識完全數

2020-06-11 16:30  來源: 新華網

數字是很奇妙的存在,它們不僅被用作計算,某些數字本身就隱藏著很多特別的屬性。

如果一個數恰好等于它的真因子(又叫“真因數”,即除了自身以外的約數)之和,則稱該數為完全數,又稱完美數或完備數。比如,6的約數為1、2、3、6,其真因子即為1、2、3,三者相加正好等于6,所以説6就是一個完全數。

最早研究完全數的是公元前6世紀的畢達哥拉斯,他發現了6和28的數字特性——兩者都是完全數,並且他認為6這一完全數象徵著“完滿的婚姻、健康和美麗”。

除了完全數,根據自然數與其真因數之和的大小關係,還有盈數和虧數。以自然數“4”為例,它的真因數為1、2,兩者相加等于3,小于它本身,這樣的自然數叫做虧數。再以自然數“12”為例,它的真因數為1、2、3、4、6,相加之和等于16,大于它本身,這樣的自然數叫做盈數。通過研究其規律,人們發現一個完全數的倍數一定是盈數,一個完全數的因子一定是虧數。

完全數在自然數中的佔比較低,因此吸引了無數人加入到尋找完全數的行列。通過借助計算機,人們逐漸發現了越來越多的完全數,最大的一個在2013年被發現,位數高達4850340位。

數字6是被數學家發現的第一個完全數,第二個至第四個被發現的完全數依次為28、496、8128。這些數具有以下特點:

6=2×3=2×(22-1)

28=4×7=22×(23-1)

496=16×31=24×(25-1)

8128=64×127=26×(27-1)

由此出現了兩個猜測:在n為質數時,所有2n-1(2n-1)形式的數都是完全數嗎?所有偶完全數都屬于2n-1(2n-1)這種形式嗎?

這兩個猜想得到了數學家的證實。最早研究了2n-1型的質數問題的是法國數學家梅森,因此這類數被稱為梅森數,其中的質數n被稱為梅森質數。梅森的研究表明,一個梅森質數對應一個偶完全數。目前通過計算機共發現了30多個梅森質數,但究竟還有多少,仍是一個未解之謎。對于是否存在奇完全數,目前尚未有結論,但數學家們已經證明:若奇完全數確實存在,這個數一定大于1050

完全數是自然數中非常具有趣味性的一係列數字,相信未來會通過更加精準、先進的方式計算出更多的完全數。

本文由中國人民大學附屬中學第二分校一級教師秦薇進行科學性把關。

本作品為“科普中國-科學原理一點通”原創,轉載時務請注明出處。

作者: 田維   [責任編輯: 郭童]

相關稿件

數學,數字,完全數