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數學常數e

2019-09-18 09:46  來源: 新華網

自然常數e和圓周率π、黃金分割數φ一起被稱為“三大數學常數”。e作為重要數學常數之一,常出現于數學和物理學之中。

 

 

相傳常數e的發現與當時歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利在半個世紀前提出的復利問題有關:假設你在銀行裏存了一筆錢,銀行每年以100%的利率兌換這筆錢,一年後,你會得到(1+100%)1=2倍的收益。現在假設銀行每六個月結算一次利息,但只能提供利率的一半,即50%,在這種情況下,一年後的收益為(1+50%)2=2.25倍。而假設銀行每月提供8.3%(100%的十二分之一)復利息,或每周1.9%(100%的五十二分之一)復利息。在這種情況下,一年後你會賺取投資的(1+十二分之一)12=2.61倍和(1+五十二分之一)52=2.69倍。根據這個規律,可以得到一條通式:假設n為利息復利的次數,那麼利率就是其倒數,一年後的收益公式為(1+n分之一)n。那麼,如果n變得無限大,那(1+n分之一)n是否也會變得無限大?這就是伯努利試圖回答的問題,但直到50年後才由歐拉最終獲得結果:當n趨于無窮大時,(1+n分之一)n並非也變得無窮大,而是等于2.718281828459……事實上e就是通過這個極限而發現的。1727年,歐拉首次用小寫字母“e”表示這個常數,此後遂成標準,被稱為自然常數。

關于常數e 的定義有很多,最常見的有兩種:

(1)定義e為一個數列的極限值;

(2)定義e為下列無窮級數之和e:。注意,0!=1。

e被稱為自然常數,在實際的應用中,常稱e是單位時間內,持續翻倍增長所能達到的極限值,這個值是自然增長的極限,因此以e為底的對數,就叫做自然對數。令人驚訝的是,以e為底的指數函數ex在微分之後公式是不變的,即ex在微分之後得到的還是ex,而積分是微分的逆計算,所以,ex積分之後得到的函數還是ex。這個世上有很多現象都可以用微分方程式來表示,通俗地説,在探究自然界的某些現象時,我們一般會將各種函數微分或積分,然後設立微分方程式並求解。而在這些計算過程中,別的函數經過微分與積分,式子都會發生改變,只有ex不管怎麼微分,式子都會保持同樣的形式,不會發生改變。這也是為什麼在探究自然界的諸多問題時,大量的解和方程式中都有e的身影的原因。

除微積分的發展離不開e,經濟學中的復利率也出現了e的身影,就連自然界中的鸚鵡螺、羊觸角、向日葵種子,甚至浩瀚宇宙中的螺旋星雲,都發現了與e有緊密聯係的等角螺線。常數e與數學和物理現象都存在著緊密的聯係,了解e的特性更有助于我們的學習。

本作品為“科普中國-科學原理一點通”原創,轉載時務請注明出處。

作者: 鄭玉婷   [責任編輯: 李浩]