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九連環中的數學原理

2019-06-02 06:43  來源: 新華網

九連環作為我國民間玩具,以金屬絲制成9個圓環,將圓環套裝在橫板或各式框架上,並貫以環柄。遊戲時,按照一定的程序反復操作,可使9個圓環分別解開,或合而為一。“九連環”現已成為一種國際性的益智遊戲,國內外都有學者在研究,拆解九連環的過程中也蘊含著一些數學原理。

 

九連環在拆解的過程中有兩個原理:

 

 

1. 如圖一所示,九連環中的第一個環,在任何情況下都可上可下;

2. 如圖二所示,如果某一個環在上面的環桿上,而它前面所有的環都在下面的環桿上,那麼這個環的後一個就可上也可下。這也就是説,如果我們想把第n個環卸下,那麼第n-1個環要留在上面的環桿上,而第n-1個環前面的所有環都要在下面的環桿上。

3. 每次只能解下或裝上一個環。

由以上可知,如果我們解下第九個環,我們就要把第八個環放到上面的環桿上,而把前七個環放到下面,進而把拆解“九連環”轉變為拆解“七連環”。我國古代也有拆解九連環的口訣:“上倆下一個,再動後一個;上一個下倆,再動後一個”。而九連環的拆解方法就涉及到了“數列”這一數學原理:

我們假設環的數量為n,記解開n連環所需的總步數是Sn, 解下每個環的步數為an;根據第二個原理我們可以推出,如若要卸下第n個環,就需要先卸下前n-2個環,其總步數就為Sn-2,這時再需要一步就可以把第n個環解下;而為了解下第n-1個環,還需要把前面的n-2個環套上,裝上前n-2個環就需要Sn-2步(因為裝上和卸下的步驟正好相反,所以步數相同),所以卸下第n個環需要an=2Sn-2+1步。因此,解開九連環所需要的步數就是一道數列題:“已知S1=1,S2=2,an=2Sn-2+1,求Sn(n點3)。”

由上圖可知,S9=341,即拆解一個九連環需要341步。

熟悉九連環的人解開處于原始狀態下的九連環所需的時間大概是6分鐘左右,解開11連環則需24分鐘左右,以此類推,如要解開17連環就要一晝夜以上,這不僅僅是在解環,也是在挑戰自身的極限。這也就是九連環自誕生之後,雖然步驟簡單卻可以在民間廣為流傳,盛行不衰的原因吧。

本作品為“科普中國-科學原理一點通”原創,轉載時務請注明出處。

作者: 耿秋實   [責任編輯: 李浩]

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