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簡單而不平凡的楊輝三角

2019-03-31 07:16  來源: 新華網

楊輝三角,又叫做賈憲三角形,帕斯卡三角形。它在中國最早由賈憲在《釋鎖算術》中提出,後來南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》中進行了詳細説明。

楊輝三角中的三角形數表,是自然界和諧統一的體現。楊輝三角是二項式係數在三角形中的一種幾何排列,其中蘊含著二項式係數的幾個相關性質,包括二項式係數的對稱性、增減性與最大值、各二項式係數的和等。

楊輝三角中不只有這些規律,它本身也包含了很多奇妙的性質。楊輝三角的前提是每行數字開頭與結尾的數都為1;第n行的數字有n項,且數字之和為2n-1;在第n行中,第m個數與第n-m+1的數值相同,這便是組合數的性質之一;第n行中的第m個數可以表示為:C(n-1,m-1),也就是從n-1個元素當中選取 m-1個元素,這屬于楊輝三角的基本性質之一;每個數字與上方兩數之和相同,按照此規律便能夠得出整個楊輝三角,即第n+1行中第i個數的數值為第n行中第i-1個數與第i個數相加之和,這便是組合數的又一大性質,用公式可以表示為:C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

在古老的楊輝三角中存在著很多奧秘,除了數學方面,楊輝三角也與許多詩文形成映射,展現了詩文之美。

 

一、 楊輝三角的外形與寶塔詩

 

唐代白居易有一首《一七令·詩》

詩,

綺美,瑰奇。

明月夜,落花時。

能助歡笑,亦傷別離。

調清金石怨,吟苦鬼神悲。

天下只應我愛,世間唯有君知。

自從都尉別蘇句,便到司空送白辭。

這種詩體名為寶塔詩,都是寬底尖頂,兩側對稱的結構。除第一句外,每行每句相比上一行增加一字。從外形上看,富有美感的寶塔詩和楊輝三角很是相似。

 

二、 遞推鏈與連環章

 

楊輝三角每行首尾數字都是1,中間的每個數剛好是該數兩肩上的數字之和。這種層層遞推的數鏈結構,表現在文學中就是連環章。

如經典的詩文有《桃話冷落》:“桃花冷落被風飄,飄落殘花過小橋。橋下金魚雙戲水,水邊小鳥理新毛。毛衣未濕黃梅雨,雨滴江梨分外嬌……敲門借問天臺路,路過小橋有斷橋,橋邊種碧桃。”全詩一氣呵成,從“桃”字開始,首尾相連,每句首字是上一句末字,頂真回環。句與句之間的關係和楊輝三角行與行之間層層遞推的關係有著異曲同工之妙;全詩首尾同字,也和楊輝三角每行首尾都是1結構相同。

楊輝三角雖然是數學問題,但是只要用心觀察,便會發現它在很多方面都有著神奇的魅力。

本作品為“科普中國-科學原理一點通”原創,轉載時務請注明出處。

作者: 鄭玉婷   [責任編輯: 李浩]

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