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奇妙的分形圖形

2018-05-19 08:10  來源: 新華網

如果讓你考慮一個這樣的問題:“具有有限面積的平面圖形,其周長是有限的,還是無限的呢?”你可能會毫不猶豫地説:“當然周長也是有限的。”在歐式幾何中,人們總是用諸如點、線、平面、三角形、正方形、圓這樣的對象和概念來描述我們生存的這個世界。然而,1906年瑞典數學家科克作了一條“雪花曲線”,它的面積是有限的,而它的周長是無限的。

雪花曲線的具體做法是這樣的。先作一個等邊三角形(如圖1),再把每邊三等分,將居中的部分向外作一個小等邊三角形,並把每一個小等邊三角形的底抹掉,得到一個六角星形(如圖2);再在六角星形的每一條邊上以同樣的方法向外作出更小的等邊三角形,于是曲線變得越來越長,開始像一片雪花了(如圖3)。再如此作下去,曲線將變得越來越長,圖形也更美麗(如圖4)。如果不斷地作下去,則曲線可以要多長有多長,若無限地如此作下去,自然就有無限周長了。而這個圖形的面積,通過計算,最多只能是原來三角形的倍。

意大利數學家歐內斯托·切薩羅曾對科克雪花曲線作過如下描述:這個曲線最使我們注意的地方是任何部分都與整體相似。這個結構的每一個小三角形包含著一個適當比例縮小的整體形狀。這個形狀包含著每一小三角形的縮小形式,後者又包含縮得更小的整體形狀,如此下去以致無窮。就是這個在它所有的無論怎樣小的部分都保持著相似的性質,使這曲線看上去是如此的奇妙。

“雪花曲線”的圖形中,存在自相似性,即圖形的局部與它的整體具有一定程度的相似關係,這樣的圖形叫做分形圖形。從20世紀70年代起,一個新興的數學分支——分形幾何逐步形成,它的研究對象就是具有自相似性的圖形。分形幾何學的出現,使人們重新審視這個世界:世界是非線性的,分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合,數學與藝術審美的統一,而且還有其深刻的科學方法論意義。

審核人:丁益祥

本作品為“科普中國-科學原理一點通”原創,轉載時務請注明出處。

 

作者: 張迎春   [責任編輯: 李浩]