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穿越11年的數學長跑:尋找那顆最完美的“鵝卵石”
2020-11-16 07:51:29 來源: 新華每日電訊
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  穿越11年的數學長跑:尋找那顆最完美的“鵝卵石”

  中科大兩位教授證明國際數學界20多年懸而未決的核心猜想前後

王兵教授解釋“哈密爾頓—田”猜想的大致原理。記者陳諾攝

  “著名學者弗裏曼·戴森説,有些數學家是鳥,有些是青蛙。飛鳥可以俯瞰延伸至遙遠地平線的數學遠景,青蛙則樂于深入探討特定問題的細節。至于我們,就像是池塘邊碰巧發現美麗花朵的青蛙。”

  近期,中國科學技術大學教授陳秀雄、王兵取得重大突破,證明了“哈密爾頓—田”和“偏零階估計”這兩個國際數學界20多年懸而未決的核心猜想。面對如潮讚譽,他們這樣説。

  能完全看懂的“不到10人”

  陳秀雄、王兵的論文,發表于國際頂級數學期刊《微分幾何學雜志》。

  學術界有人説,這篇長達123頁的論文,全世界能完全看懂的估計“不到10人”。“確認過眼神,我是看不懂的人。”網友的態度真實而可愛。有科普作家説,“這是最難進行的一次科普。”

  那麼,他們到底證明了什麼?

  “我們在沙灘上看到的鵝卵石大多是圓潤的,它一開始可能有棱有角,但隨著時空流轉、潮起潮落,形狀會越來越接近完美、標準。然而即便再完美的演化,鵝卵石也可能包含一些異變之處,幾何上稱為‘奇點’。簡單來説,‘哈密爾頓—田猜想’即猜測大多數地方都是完美的,而‘奇點’的大小是可控的,被限制在一個低維空間。”陳秀雄説,他和王兵,就是在數學上嚴格證明了這個猜想,並以此為基礎證明了分析領域的“偏零階估計猜想”。

  數學猜想,是關于某個自然現象或理論的猜測、假設,如果被數學方法證明為正確的,就成為定理;證明為錯誤的則拋棄。

  “提出猜想——證明或證偽,再提出猜想——再證明或證偽……日日新,又日新,這就是數學發展的路徑。”王兵説,“這也是人類對自然認知不斷加深的過程。”

  微分幾何學是研究空間幾何的學問,在這個領域,出現過歐拉、高斯、黎曼等偉大的名字。大到宇宙膨脹,小到熱脹冷縮,諸多自然現象都可以歸結到空間演化。“哈密爾頓—田猜想”和“偏零階估計猜想”提出于20世紀90年代,屬于數學界的核心猜想。

  “鵝卵石會越變越完美,幾何結構會變成一個期待的形狀。我們把自然現象用數學工具做了證明。”陳秀雄説。

  可能100年後才有用

  “這兩個猜想有什麼用?”在一些網站上,這是個熱點話題。有學術界網友認為,應該更長遠地看待這個問題,現在前沿的數學成果,“可能100年後才有用”。

  “跟隨自己的內心,好奇心驅動我們的研究。”陳秀雄説,基礎研究一般不直接著眼于應用,但社會發展證明了基礎研究的作用。

  微分幾何學起源于17世紀,對物理學、天文學、工程學等發展産生了巨大推動作用,廣義相對論、量子場論等都依賴微分幾何作為數學基礎。

  對人工智能、機器人、VR(虛擬現實)等現代技術,微分幾何同樣不可或缺。比如電影、遊戲特效依靠計算機圖形學,微分幾何學就是其基礎。

  “人工智能是對真實世界的有效逼近。比如自動駕駛技術,可以把前20年所有的車禍信息都錄入數據庫,但世界是向前發展的,如何應對並避開新情況下的車禍?”陳秀雄説,這個問題或許可以用微分幾何的思想解決,對未來可能出現的車禍進行“猜想”,從而提前規避。

  在黑屋子裏“找門”

  研究猜想用了5年,論文篇幅長達123頁,發表出來又花了6年……相比猜想本身,這些數字背後的故事同樣引人遐思。

  11年前,當27歲的美國普林斯頓大學博士後王兵提出主攻“哈密爾頓—田猜想”時,他的導師陳秀雄吃了一驚。3年的博士後,做出科研成果才能申請正式教職。但以這個猜想的難度,3年幾無可能,甚至可能會被“卡住”“迷失”,毀掉學術生涯。

  “導師擔心我把自己置于危險境地。”王兵説,也想先做點容易的研究,但發現做不到,“做別的什麼都沉不下來,茶不思、飯不想,成天想著這個事。”

  數學之美讓來自中科大少年班的王兵癡迷,這已非一天兩天。2003年,俄羅斯學者格裏高裏·佩雷爾曼歷經8年,證明了著名的龐加萊猜想。

  “要説好在哪裏,説不出來,就像王維的詩,你能説清楚美在哪裏?我就是著迷。”王兵説,佩雷爾曼突破的更大意義在于,打開了一個宏大瑰麗的科研“寶藏”入口,讓全球的青年數學粉絲為之癡狂。

  整整啃了兩年,王兵讀懂了佩雷爾曼的3篇雄文,還發現了其中一個錯漏,佩雷爾曼很快回信表示認可。

  但“哈密爾頓—田猜想”之難遠超想象。“2012年3月我在夏威夷開會,看著窗外美景,忽然想起來,我們的論證有個漏洞。這意味著幹了兩年多的研究要推倒重來,寫了五十多頁的論文要從零開始。”王兵説,這種大錯誤犯過兩次,小的不計其數。

  “證明未知的猜想,就像在一個方圓1平方公裏的黑屋子裏找路,沒有任何光亮,但你要在1個小時內找到唯一一扇能出去的門。”陳秀雄説,最有效的方式是朝著一個方向走,但人往往走了不久就開始嘀咕:萬一方向不對呢?

  “所以,好的數學一定是發自內心的,你很喜歡,相信它是對的。”研究了30多年數學的陳秀雄説。

  論文長,解釋更長

  2014年初夏,歷經5年苦鬥,他們終于完成了猜想的證明,並將成果預印本張貼到學術網站,引起行業內不小的震動。

  為了將證明完整呈現,王兵將論文投稿到一家知名數學期刊,不料卻開啟了另一段長徵。

  猜想證明中有很多新概念、新方法,這家期刊的匿名審稿人不斷提出疑問,他們就不斷回復解釋。兩年間,回復多達十幾次,回復內容累積近200頁,比原文還長。

  就在他們以為都解釋清楚了,卻收到了拒稿信,審稿人含糊地表示,仍對部分解釋不滿意。

  但同時,學術網站上卻出現了另一篇立意相近、結構類似的論文。作者是一名歐洲人,他的論文架構基于陳秀雄、王兵論文的關鍵想法,卻宣稱自己證明了“哈密爾頓—田猜想”。

  多年成果可能會被搶走,陳秀雄和王兵將文章分成兩部分,分別投稿給不同的學術雜志,都在2017年年底被接受。由于雜志排期原因,2017年和今年,他們103頁的論文前半部分和123頁的後半部分,分別得以發表。

  而那位歐洲學者在正式發表的論文中,也明確注明陳秀雄、王兵已經先行證明了“哈密爾頓—田猜想”。至此,爭議塵埃落定。

  《微分幾何學雜志》審稿人評論認為,陳秀雄、王兵的論文是幾何分析領域的重大進展,將激發諸多相關研究。菲爾茲獎獲得者西蒙·唐納森稱讚説,這是“幾何領域近年來的重大突破”。

  此時,距離他們啟動研究,已過去了11年。

  回國,這裏有最好的學生

  走進王兵的辦公室,最引人注目的是一個大黑板,幾乎佔據縱向一面墻。“我還嫌不夠大,寫幾步就沒地方了。”在王兵看來,數學是長跑是積累,“不寫在黑板上,想的東西可能是錯的。”

  2018年,已在美國獲得終身教職的王兵與夫人一起回國,一是為了“歸屬感”,二是因為“這裏有最好的學生”。

  在正常教學之外,王兵創辦了一個“討論班”,每周一三開課,20多個學生中部分來自本校,更多是天南海北慕名而來的“數學門徒”。

  21歲的徐鈺倫是來自復旦大學數學係的“學霸”,4個月前來到合肥,租住在中科大學校旁的一間公寓。

  一間教室、一塊黑板,每次圍繞一篇論文,一人上臺講,大家臺下聽。徐鈺倫説,當學生在臺上講不下去了,王兵就會從凳子上“跳”到講臺上,拿起粉筆與大家一起向下推導。“大家歡笑著討論數學,非常純凈。我覺得,這就是數學愛好者的天堂。”

  來自遼寧的一位中科院博士生説,當讀懂一篇論文、解決一個難題,有些洋洋得意,王老師會告訴他,“提問題比解決問題更重要”“數學的邊界是越來越大的”。

  “上士聞道,勤而行之;中士聞道,若存若亡;下士聞道,大笑之。”21歲的趙新銳説,自己在討論班上記得最清楚的,是導師引用《道德經》裏的這段話,“這是數學研究的境界和旨趣所在。”

  留下新的“鵝卵石”

  “現在的學生,比我當年在中科大讀書時的水平高得多,一些本科生已經達到了國外名校研究生水平。”王兵説,數學強調一代代人的積累,不僅是一個人,而是一個大學、一個國家的事,他看好中國數學的前景。

  對證明猜想所引起的巨大社會反響,陳秀雄和王兵都“出乎意料”。“我很高興,希望能吸引更多的年輕人來研究基礎學科,不僅是數學,還有物理、化學……基礎性的工作需要有人做。”陳秀雄説。

  “論文發表以後,我收到很多郵件,大多是要論文,不少人表達對數學的仰慕,還有人自稱是‘被金融耽誤的數學愛好者’。”王兵説,中國日漸強大,需要更多優秀的年輕人進來,夯實國家的數學之基。

  在佩雷爾曼證明龐加萊猜想的論文中,留下了一段話:下一步,準備研究“哈密爾頓—田猜想”。

  “這個指引,是我們研究這一猜想的原因。”王兵説,如果證明“哈密爾頓—田猜想”是尋找“最完美的鵝卵石”,在他倆那篇論文和以後的其他論文中,他們也留下了新的方向、新的線索。如同新的“鵝卵石”,這是數學界的傳承,也是指向未來的路標。 (記者徐海濤、陳諾)

【糾錯】 責任編輯: 周楚卿
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